清华00后博士生，一个念头打破数学界80年僵局

【导读】近80年，没人动过Erdős概率方法的下界底数。清华、中科大团队首次给出指数级改进。

2026年5月，数学四大顶刊Inventiones Mathematicae刊发了一篇来自中国团队的论文。

作者是：清华/中科大双聘教授马杰，清华博士生申武杰，中科大博士生谢晟捷。

论文地址：https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-026-01421-9

Erdős 1947年发明的概率方法，奠定了整个概率组合学。

此后近80年，没有任何人能从根本上突破它的极限。

而这篇论文，首次给出了指数级改进。

一枚硬币扔了80年

Erdős的方法非常简单：给完全图的每条边掷硬币，正面红，反面蓝。

举个例子，任何足够大的社交网络里，都必然存在一群人全互相认识或全互不认识。而Erdős用这枚硬币证明了，「足够大」至少是指数级的。

有意思的是，上界这些年一直有人在推进，2023年更是从≈4一口气压到了3.7992。但下界的底数，自Erdős提出之后近80年都纹丝未动。

直到马杰团队提出了那个关于球面的想法。

但硬币太笨了

硬币着色的特点是每条边红蓝各半、完全独立。

简洁，好分析，但它没有利用任何几何结构来压制单色团的形成，浪费了信息。

申武杰的想法是给随机性加入几何。

他提出了「随机球图」模型，也就是把n个节点随机撒在高维球面上，两点距离远的边涂红，近的涂蓝。

高维球面有一个极反直觉的特性——

维度一高，几乎所有点都挤在赤道附近。随机选两条径向线，夹角几乎一定接近90度。

点对距离集中在一个很窄的区间里，着色不再完全随机，而是被球面的几何对称性精确调控。球面结构天然压制大片单色团的形成。

但这里有一个取舍。球面模型压低了红色团的概率。

也就是说，要形成大的红色团，需要很多节点彼此都很远，球面空间有限，这很难发生。但同样的道理，蓝色团的概率反而上升了。

随后，三人在小规模图上做了验证。

数以万计的着色方案里，无团着色的概率依然大于零——收益确实盖过了代价。

接下来就是证明这一点，而关键恰恰来自高维球面那些极反直觉的几何性质。

以近对角线Ramsey数r(k, 2k)为例，两个参数一个是另一个两倍的情形，Erdős硬币给出的下界底数恰好是黄金比例(1+√5)/2≈1.618。

马杰、申武杰、谢晟捷把这个底数提高到了(1+√5)/2 + 10⁻²¹。

你没看错。改进量大约是10⁻²¹——小数点后面20个零，然后一个1。

但重点在指数。

Ramsey数按指数增长，底数哪怕只加0.000000000000000000001，当k趋向无穷，新下界会把旧下界甩到宇宙尽头。

近80年来没有任何人动过这个底数。

而他们不只是把数字往上推了一点，他们还证明了Erdős的硬币并非最优着色方案。

随机球图在结构上严格优于纯随机着色，这意味着概率方法的天花板远没有到。

这是该方向自Erdős以来的首次指数级改进，也是第一次有人给出一条超越硬币的路径。

不过这条路径有一个明确的边界：它只在蓝色团大于红色团时有效。

当两种颜色的禁忌团一样大，也就是Erdős最初关注的对角线情形，新方法的收益会消失。

整个圈子炸了

论文2025年7月挂上arXiv，不到一周，组合数学泰斗Gil Kalai在博客发了一篇标题以Amazing开头的长文，称这套模型「具有相当的独立研究价值」。

剑桥大学的Julian Sahasrabudhe更是感慨道：「一个熟悉的东西竟然能解决一个熟悉的问题，多少有点令人震惊。」在他看来，这项技术一直藏在眼皮底下。

2025年12月，马杰在UCLA时的合作导师Benny Sudakov带着学生证明了，换成高斯随机图同样有效，球面都不需要。这步简化意味着更多人能参与推广。

2026年初，又有人推广到了多色Ramsey数。

2026年5月，文章正式发表于Inventiones Mathematicae。

清华00后的直觉

马杰，现任清华大学丘成桐数学科学中心教授、中国科学技术大学教授。

他2007年从中科大本科毕业，2011年在Georgia Tech拿到博士学位，导师是Xingxing Yu。此后在UCLA做Hedrick助理教授，师从Benny Sudakov，随后转到CMU做博后。2015年回国扎根中科大，2024年同时加入清华YMSC和BIMSA。

他在2017年拿到国家优青，2022年拿到国家杰青，是SIDMA编委。2020年他拿下了ICA的Hall Medal——这个奖每年最多颁两枚，专门给40岁以下的杰出组合数学家。

谢晟捷，高中拿过数学联赛广东一等奖，高二就通过少创班提前进了中科大。

本科期间拿过丘赛团体铜牌，2023年留校直博，师从马杰。成果发表时在读博三。

申武杰，00后，目前在清华丘成桐数学科学中心读博，导师是丘成桐。成果发表时博四。

他高中拿过CMO三等奖，2018年考入北大数院，本科期间拿了全国大学生数学竞赛一等奖、阿里数赛银奖和ICCM创意本科论文奖。2022年他直博进入清华。

读博的前几个学期，申武杰主要做的是几何与拓扑，和Ramsey理论没有任何交集。

2024年春天，他偶然读到一篇关于Ramsey数的论文，被深深吸引，开始琢磨一个问题：有没有一种随机模型，能比Erdős的硬币更高效地生成无团着色？

2024年秋天，马杰到清华访问授课，申武杰把这个想法带给了他，马杰的学生谢晟捷也加入进来。三个人花了一年时间，写了40页密集的计算，才完成了证明。

马杰后来说：「我们很幸运，感觉所有努力都得到了回报。但这一路确实艰难了很长时间。」

AI解题 vs 人造武器

就在这篇文章发表的同月，DeepMind放出了AlphaProof Nexus的完整战报。

353个Erdős开放问题里啃下9个。44个OEIS猜想一并证明。全部Lean形式化验证通过。其中两道题已经悬了56年。每道题不过几百美元。

Gemini 3.1 Pro驱动agentic loop，反复搜索证明路径直到形式验证器点头。

但归根结底是在已知框架里做搜索。

对此，陶哲轩曾表示：AI是称职的助手，但不是同行。它善于在已知方法里扫描匹配，但不擅长提出原创想法。

而马杰团队做的恰恰是后者。他们没有去解Erdős的某一道题，他们升级了Erdős发明的方法本身。

AI从Erdős的遗产里拆了9堵墙。三个中国人重铸了他最引以为傲的那把锤子。

在最需要创造性洞察的数学前沿，人类目前仍然不可替代。至少今天是这样。

尾声

1947年，Erdős掏出一枚硬币，开辟了概率组合学。

将近80年后，一个00后中国博士生说了一句：「把节点扔到球面上试试。」

参考资料：

https://www.quantamagazine.org/after-80-years-mathematicians-give-famed-erdos-method-an-upgrade-20260626/

编辑：摩西