均为 10 年以上未解难题：OpenAI 公布下一代模型 Astra 在数学等领域的十项进展，Token 成本约 2000 美元

8 月 1 日消息，OpenAI 官方今日公布了在数学与理论计算机科学领域的十项进展，这些问题此前一直悬而未决，其核心研究在至少十年（多数情况下甚至更久）的时间里未曾取得任何实质性进展。

据悉，这些成果由 OpenAI 的下一代核心模型 Astra 的内部版本计算得出。若按 Sol API 的费率计算，寻找这些问题解决方案所需消耗的总词元 (tokens) 成本约为 2000 美元（注：现汇率约合 13530 元人民币）。

OpenAI 认为，署名权应当如实反映研究成果的产生过程：如果一项完全由 AI 系统生成的证明被声称为人类独立撰写，这不仅抹杀了该系统的贡献，也扭曲了真正人类智力劳动的本质。

据介绍，人类研究员协助撰写了论文手稿，并在 Lean 语言中对这些证明进行了形式化验证，对其正确性负责；然而这些数学论证本身均由 OpenAI 的系统生成。

附十项进展简要介绍如下：

• 高维球体堆积 (High-dimensional sphere packing)：给出了球体堆积密度新的上界，并将其界限收紧至 Cohn-Elkies 阈值 (Cohn-Elkies threshold)。

• 二进制与球面码 (Binary and spherical codes)：在任意给定的最小距离下，对二进制码最大规模的界限实现了指数级的改进，并在高维球面码上取得了类似的结果。

• 非柔性群 (Non-sofic groups)：提出了一种构造方法，证明了非柔性群的存在性，从而解答了群论中的一个核心未解问题。

• 康纳斯刚性猜想 (Connes's rigidity conjecture)：证伪了一个长期存在的猜想，即某些群可由它们的冯 · 诺依曼代数 (von Neumann algebras) 唯一确定。

• 算术电路复杂性 (Arithmetic circuit complexity)：在利用算术电路与公式计算积和式 (permanent) 方面得出了新的下界，其中包含一个阶数为 n4/log n 的算术公式下界。

• 量子平行重复 (Quantum parallel repetition)：提出了一种适用于通用两方量子博弈 (two-player quantum games) 的指数级平行重复定理，扩展了经典复杂性理论中的一项基本原则。

• 最近向量问题 (Closest vector problem)：确立了最近向量问题在多项式因子上的近似困难度 (hardness of approximation)，这是一个与后量子密码学 (post-quantum cryptography) 相关的基础格问题。

• 埃尔哈特体积猜想 (Ehrhart's volume conjecture)：在所有维度中，确定了以此凸体质心为唯一内部格点的凸体可能拥有的最大体积。

• 多色拉姆齐数 (Multicolor Ramsey numbers)：给出了多色三角形拉姆齐数的超指数级下界，解决了埃尔德什问题 183 (Erdős problem 183)。

• 极值数猜想 (Extremal number conjectures)：在极值图论 (extremal graph theory) 中的紧凑性与退化性猜想上取得了新成果，解决了埃尔德什问题 146 和 180。